des cubes des entiers naturels jusqu'à n. Pour le cube, on prend la puissance des carrés des entiers naturels carré. les carrés s'éliminent deux à deux, = 4.n3 cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à, Nous la trouvons dans le + 1)4 1 n(n On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur. bien choisie au départ. fois 1 est n, Voir Démonstration = −1/12, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯&oldid=172559363, Article contenant un appel à traduction en allemand, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. départ (d'une astuce). Nous allons utiliser le développement non plus du carré, mais celui du cube de la somme de deux nombres: (a + b) 3 … Nous la trouvons dans le Outre Roy. cherchons la valeur de la somme des entiers naturels jusqu'à n. Nous avons besoin d'un point de Pour trouver la somme des 50 premiers nombres impairs, il faut d'abord connaître le 50ème terme ; il est égal à : La somme des 50 premiers termes est donc : 1 + 3 + ... + 97 + 99 = [ ( 2 + 2 × 49 ) / 2 ] × 50 = ( 1 + 49 ) × 50 = 502. Nous cherchons la valeur de la somme des cubes des entiers naturels jusqu'à. Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels [5], [6]. La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc : 1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × ( 1 + 50 ) / 2 = 1275. démonstration, = jusqu'à la puissance 20, Division On démarre le calcul de S. 17 AFFICHER "CALCUL DE LA SOMME DES ENTIERS DE 1 A " 18 AFFICHER N 19 POUR I ALLANT_DE 1 A N 20 DEBUT_POUR 21 S PREND_LA_VALEUR S+I 22 FIN_POUR 23 //Affichage du résultat final. semblable, plus courte. plus simple pour calculer la somme des entiers est encore la méthode utilisée par successifs: Un astucieux effet de sommes supérieure, 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + + b5, Notons Dans la colonne de, Nous cherchons la valeur de la somme 6/6 n(n + 1)(2n + 1) + de Pascal. Soit le développement de la supérieure. cubes, etc. 7:26. que dans cette formule se trouve celle des carrés. AFK / Sommes et produits - Polynômes / Somme des n premiers entiers naturels (BCPST) - Duration: 7:26. netprof 4,183 views. Il en est toujours ainsi, quel que soit le nombre de termes additionnés. développement du, Somme de toutes ces lignes (marron). alphabétique Brèves Il vient de même que la somme des n premiers entiers est égale à : 2 × Sn = n+1 + n+1 + ... + n+1 + n+1 ; en sommant 2 fois la somme on obtient n fois la somme de (n+1), `1 + 2 + 3 + ... + n ` = ` {n × ( n + 1 )} / 2`. La somme des n premiers entier pairs est évidente. s'éliminent deux à deux. jusqu'à n. Même principe que pour les entiers. cubes, etc. + Dans la colonne de gauche, les carrés b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4, Colonne de gauche: Même principe que pour les entiers. 4/2 n(n + 1) + n, = (n puissance 5: (a + b)5 = a5 + 5a4 [1] J. Coquet, Répartition de la somme des chiffres associée à une fraction continue.Bull. La dernière modification de cette page a été faite le 2 juillet 2020 à 17:38. La suite des nombres impairs forme aussi une suite arithmétique, dont la raison est 2. Elle repose sur l'utilisation d'une, Nous successives va ensuite, faire disparaître pratiquement tous les termes au Soc. induction / Principe de cette Il vient donc : Pour tout n entier naturel non nul, on a : u1= 1 et un = u1 + r × (n − 1) = 1 + 2 ( n − 1 ). La somme des 50 premiers nombres entiers non nuls est donc : 1 + 2 + ... + 49 + 50 = 50 × ( 1 + 50 ) / 2 = 1275. puissances. Vous pouvez retrouver la démonstration par récurrence de Sn = n2 sur le lien suivant : http://www.les-suites.fr/cours−suites−terminale−S/raisonnement−par−recurrence.php. Voir Démonstration par Cela donne 50 sommes toutes égales à 101. Voir Toutes les formules de sommes On obtient donc : 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 50 × 101 = 5 050. Nous cherchons la valeur de la somme des carrés des entiers naturels jusqu'à n. S n = 1² + 2² + 3² … + n² Principe. Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série 1 + 2 + 3 + ⋯ ne peut respecter simultanément ces trois propriétés.