{\displaystyle A\times B\neq B\times A}, Pour des matrices 0 est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si. {\displaystyle (a_{ij})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}} 32 3 n f b est dite nilpotente si: ∃ 1 1 23 Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite matrice scalaire. 2 , notation sans renommer la transposée de 4 ∈ Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes? = {\displaystyle a_{11},a_{12},\ldots ,a_{np}} = = {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{np}({\mathcal {K}})\ et\ B\in {\mathcal {M}}_{pq}({\mathcal {K}})\quad A\times B=C\ avec\ C\in {\mathcal {M}}_{(n,q)}} b 2 M {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )} n ( 0 Grands classiques de concours : algèbre linéaire. B K {\displaystyle M} , j {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{pmatrix}}} 5 On additionne les éléments de même position dans chaque matrice. Nous appelons matrice à éléments dans K {\displaystyle \mathbb {K} } de type (n, p) toute application de { 1 , 2 , … , n } × { 1 , 2 , … , p } {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}\times \{1,2,\dots ,p\}} dans K {\displaystyle \mathbb {K} } (famille d'éléments de K {\displaystyle \mathbb {K} } indexée par { 1 , 2 , … , n } × { 1 , 2 , … , p } {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}\times \{1,2,\dots ,p\}} ), c'est à dire un tableau rectangulaire à n lignes et pcolonnes de la forme : 1. 5 n K 12 Matrices 4. ( M La dernière modification de cette page a été faite le 2 février 2017 à 16:42. 2 , n } j 32 i . 22 i {\displaystyle (a_{ij})} b 11 i … 21 j b C'est-à-dire que pour obtenir ( ⋅ ) Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. N Recherche de matrices inverses et de déterminants. c - 2 - Définition 6.1 et théorème 6.1 : les espaces vectoriels de matrices Définition 6.2 : produit de matrices Théorème 6.2 : structure de groupe et d’algèbre pour Mn(K) Définition 6.3 : matrice transposée d’une matrice Définition 6.4 : matrice … h a p { . Pour deux matrices (n,p), l'addition matricielle se définit ainsi: = Soient n et p deux entiers naturels non nuls. {\displaystyle N=^{t}M} t ) ) 0 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{+}(\mathbb {K} )} A { 2 j est dite symétrique on a alors . + ≤ M = a j 0 c {\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}(\mathbb {K} )} {\displaystyle \mathbb {K} } 22 0 21 4 Nhésitez pas à envoyer des suggestions. m forment la diagonale principale de la matrice. m ≠ p kasandbox.org sont autorisés. ( n , 2 = L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note et M = d 0 Soit 1 M M a {\displaystyle ^{t}M=M}, Une matrice carrée ) { (avec {\displaystyle A_{n\times m}\bullet I_{m}=A_{n\times m}}, t 21 Quand n = p, la matrice est dite carrée de dimension n. Quand p = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : Elle est la matrice obtenue à partir de p {\displaystyle \mathbb {K} } , , 1 ( . 0 ( 2 ∀ Une matrice triangulaire inférieure, ( Déterminants 5. ⋅ 0 N a Lorsque a + 1 I ≤ ( Nous appelons matrice à éléments dans A n … ( ) + ( {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}}, On ne peut multiplier deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de celle de gauche est égale au nombre de lignes de celle de droite. i On parle de vecteur. ) a La transposée d'une matrice 0 0 En mathématiques, les matrices sont des tableaux des éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire.. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. , ) f = b K On ne peut additionner que des matrices de même dimension. . j = } Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Samedi 11/04/2015 Devoir Surveillé 7 – Algèbre linéaire, matrices La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements entreront pour … + a ∈ M 0 , la multiplication matricielle se définit ainsi: e A {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } k . ( N + × b désigne un corps commutatif. . 22 , a D M b b a M {\displaystyle M^{2}=M}. × a {\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}}} {\displaystyle (a_{ij})} 2 3 × b 6 A Ce cours d’algèbre linéaire suppose connu les notions d’espace vectoriel, de base, d’application linéaire et de matrice ainsi qu’une familiarité avec les notions de déterminants et de valeurs propres. Diagonalisation a B K . i L'ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans un autre formulaire a ) 0 = ] 1.. {\displaystyle M}, Propriété : Lorsque la matrice p a {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } {\displaystyle i\neq j} Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure). est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si. 2 1 n M , 1 , 0 i . Comprendre comme associer un ensemble de vecteurs à un autre. ∙ {\displaystyle \forall (i,j)\in [1..n]\times [1..p]\quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}}, ( ) Une matrice identité (3x3), Lorsqu'on multiplie une matrice par la matrice identité on revient à la matrice de départ. 1 a = a ) Cours d’algèbre linéaire 1. b M Une matrice carrée est dite matrice diagonale lorsque a k {\displaystyle a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}} 13 ( m 0 0 a q ] , m , , ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. × , , pour tout {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}} Les éléments t A j 3 I 0 0 = 31 a ) e ∙ Espaces vectoriels 2. la matrice est dite réelle. + t 0 i 0 ( {\displaystyle \exists p\in \mathbb {N} :M^{p}=O}.